TUGAS X RELASI DAN FUNGSI

RELASI 

A. Pengertian Relasi

Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan dengan Relasi.

Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita} dan N = { 1,2,3}. Misalkan Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun , Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = { (Ami,1), (Budi,3), (Candra,2), (Dita,1)} dimana P merupakan himpunan pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dan himounan N. 

 Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dan himpunan N dan dapat ditulis sebagai:

P = { (x,y)  I x berusia y, dimana , dimana X  M dan Y  N }

PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI

Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan yang tidak kosong. Perkalian Cartesian A × B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana x  A dan y   B.

A × B = { (x,y) | untuk setiap x  A dan y  B } 

Contoh 

Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.

C × D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }

D × C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) }

Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A×B sama dengan hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .

n(A × B ) = n (A ) × n(B ) .

Pada umumnya, A × B  ≠ B × A . Akan tetapi n(A × B ) = n (B × A ).

Contoh 3

1. Dari contoh 2, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.

Dengan demikian n(C × D ) = 3 × 2 = 6.

2. Dari contoh 1, n(M × N ) = n(N × M ) = 12.

Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota himpunan B, ditulis R : A → B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A × B, ditulis R  A×B.

Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A, ditulis R : A  A, maka R  A × A. 

Contoh 

1. Misalkan C = {2, 3, 4} dan D = {x, y}.

C × D = {(2,x), (2,y), (3,x), (3,y), (4,x), (4,y)}

Sebuah relasi R1: C  D didefinisikan sebagai

R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y)}.

Jelas bahwa R1  C × D.

2. Relasi R2 : G  G didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai R2 = {(x,y) |x < y, dimana x, yG}.

Relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2  G × G.

PENYAJIAN RELASI

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :

—Diagaram panah

 

—Himpunan pasangan berurutan

 

—Diagram Cartesius

 

—Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal (domain), sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil (range). Relasi yang telah dijelaskan pada bagian (a) dapat dinyatakan sebagai berikut        

 

—Matriks

 Misalkan R merupakan relasi yang menghubungkan himpunan A = {a₁, a₂, ..., a_m}, dan himpunan B = {b₁, b₂, ... b_m}. Maka relasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. 

 

Unsur-unsur m_ij pada matriks tersebut bernilai nol atau satu, tergantung apakah unsur a₁ pada himpunan A rnernpunyai relasi dengan unsur b₁ pada himpunan B. Pernyataan tersebut dapat dinyatakan : 

 

—Graph Berarah

Berbeda dengan ketiga cara di atas, graf tidak digunakan untuk menyajikan relasi dari sebuah himpunan ke himpunan lain, tetapi graf digunakan untuk menyajikan relasi pada sebuah himpunan saja.

Contoh :

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)}

adalah sebuah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. Relasi ini dapat disajikan dengan graf berarah berikut:

 

RELASI INVERS

Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai

R-1 = { ( y , x )  ( x , y )  R }

Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .

Contoh 

Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b} dan relasi R = {(1,a),(2,a),(2,b) ,(3,a)} merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.

Contoh 

Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = {(a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b)} merupakan relasi pada W. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) }.

KOMPOSISI RELASI

Misalkan R relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S relasi dari himpunan B ke himpunan C. Didefinisikan relasi baru dari himpunan A ke himpunan C, ditulis R S yang beranggotakan semua pasangan terurut (a,c) yang memenuhi (a,b)  R dan (b,c)  S, atau dapat dinyatakan sebagai:

R S = {(a,c)| b  B yang memenuhi (a,b)  R dan (b,c)  S}

Misalkan A = {x,y,z}, B = {a,b,c,d}, C = {1,2,3,4,5}. R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C.

Misalkan R = {(x,a),(x,b),(y,b),(y,c),(y,d),(z,d)} dan

S = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(b,5),(d,3),(d,4)}maka

R S={(x,1),(x,2),(x,3),(x,5),(y,2),(y,3),(y,5),(y,4),(z,3),(z,4)}.

SIFAT RELASI

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a  A berlaku (a,a)  R.

Contoh 

Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3) , (3,3) , (3,2)}. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.

Contoh 

Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y) x kelipatan y, x, y  B}. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleks

Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b)  R berlaku (b,a)  R.

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R4 tersebut bersifat simetris.

Contoh 13

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R5 = { (x,y)  x kelipatan y , x, y  B } = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R5 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2)  R5 tetapi (2,4)  R5. 

Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)R dan (b,c)R berlaku (a,c)R.

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R6 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}

Relasi R6 tersebut bersifat transitif.

Contoh 

Relasi R7 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2)  R7 dan (2,3)  R7, tetapi (1,3)  R7.

Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b)  R dan (b,a)  R berlaku a = b.

Contoh 

Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R8 = { (x,y)  x kelipatan y , x,y  B }.

Dengan demikian R8 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R8 tersebut bersifat antisimetris.

Contoh 

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R9 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R9 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)R9 dan (2,1)  R9, tetapi 1  2.

RELASI EKIVALEN

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif.

Contoh 18

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen.

Contoh 19

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y)  x kelipatan y , x, y  B } maka R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.

Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

RELASI PENGURUTAN SEBAGIAN (PARTIAL ORDERING)

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.

Contoh 20

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R3 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R3 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian.

Contoh 21

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R4 = { (x,y)  x kelipatan y , x,y  B } maka R4 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.

Relasi R4 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.

Daftar Referensi

Suryadi, H.S. 1991. Aljabar, Logika dan Himpunan, seri diktat kuliah Gunadarma. Depok.

Pardede, C. 2003. Lecture Notes Logika Matematika. Universitas Gunadarma. Depok.

Angga Faizul (2012) Relasi http://studio-ilmu.blogspot.com/2012/09, diakses  Jumat 9 Mei 2014 pukul 17.00

Aenifarida (2013) Cara menyatakan relasi dalam matematika  http://aenifarida.wordpress.com diakses Jumat 9 Mei 2014 pukul 17.00.