Ilmu Alamiah Dasar dan Matematika: Mei 2014

Jumat, 09 Mei 2014

RELASI

A. Pengertian Relasi

Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan dengan Relasi.

Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita} dan N = { 1,2,3}. Misalkan Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun , Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = { (Ami,1), (Budi,3), (Candra,2), (Dita,1)} dimana P merupakan himpunan pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dan himounan N.

Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dan himpunan N dan dapat ditulis sebagai:

P = { (x,y) I x berusia y, dimana , dimana X  M dan Y  N }

PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI

Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan yang tidak kosong. Perkalian Cartesian A × B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana x  A dan y  B.

A × B = { (x,y) | untuk setiap x  A dan y  B }

Contoh

Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.

C × D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }

D × C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) }

Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A×B sama dengan hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .

n(A × B ) = n (A ) × n(B ) .

Pada umumnya, A × B ≠ B × A . Akan tetapi n(A × B ) = n (B × A ).

Contoh 3

1. Dari contoh 2, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.

Dengan demikian n(C × D ) = 3 × 2 = 6.

2. Dari contoh 1, n(M × N ) = n(N × M ) = 12.

Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota himpunan B, ditulis R : A → B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A × B, ditulis R A×B.

Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A, ditulis R : A  A, maka R  A × A.

Contoh

1. Misalkan C = {2, 3, 4} dan D = {x, y}.

C × D = {(2,x), (2,y), (3,x), (3,y), (4,x), (4,y)}

Sebuah relasi R1: C  D didefinisikan sebagai

R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y)}.

Jelas bahwa R1  C × D.

2. Relasi R2 : G  G didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai R2 = {(x,y) |x < y, dimana x, yG}.

Relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2  G × G.

PENYAJIAN RELASI

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :

—Diagaram panah

—Himpunan pasangan berurutan

—Diagram Cartesius

—Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal (domain), sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil (range). Relasi yang telah dijelaskan pada bagian (a) dapat dinyatakan sebagai berikut

—Matriks

Misalkan R merupakan relasi yang menghubungkan himpunan A = {a₁, a₂, ..., a_m}, dan himpunan B = {b₁, b₂, ... b_m}. Maka relasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks.

Unsur-unsur m_ij pada matriks tersebut bernilai nol atau satu, tergantung apakah unsur a₁ pada himpunan A rnernpunyai relasi dengan unsur b₁ pada himpunan B. Pernyataan tersebut dapat dinyatakan :

—Graph Berarah

Berbeda dengan ketiga cara di atas, graf tidak digunakan untuk menyajikan relasi dari sebuah himpunan ke himpunan lain, tetapi graf digunakan untuk menyajikan relasi pada sebuah himpunan saja.

Contoh :

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)}

adalah sebuah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. Relasi ini dapat disajikan dengan graf berarah berikut:

RELASI INVERS

Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai

R-1 = { ( y , x )  ( x , y )  R }

Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .

Contoh

Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b} dan relasi R = {(1,a),(2,a),(2,b) ,(3,a)} merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.

Contoh

Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = {(a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b)} merupakan relasi pada W. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) }.

KOMPOSISI RELASI

Misalkan R relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S relasi dari himpunan B ke himpunan C. Didefinisikan relasi baru dari himpunan A ke himpunan C, ditulis R S yang beranggotakan semua pasangan terurut (a,c) yang memenuhi (a,b)  R dan (b,c)  S, atau dapat dinyatakan sebagai:

R S = {(a,c)| b  B yang memenuhi (a,b)  R dan (b,c)  S}

Misalkan A = {x,y,z}, B = {a,b,c,d}, C = {1,2,3,4,5}. R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C.

Misalkan R = {(x,a),(x,b),(y,b),(y,c),(y,d),(z,d)} dan

S = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(b,5),(d,3),(d,4)}maka

R S={(x,1),(x,2),(x,3),(x,5),(y,2),(y,3),(y,5),(y,4),(z,3),(z,4)}.

SIFAT RELASI

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a  A berlaku (a,a)  R.

Contoh

Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3) , (3,3) , (3,2)}. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.

Contoh

Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y) x kelipatan y, x, y  B}. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleks

Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b)  R berlaku (b,a)  R.

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R4 tersebut bersifat simetris.

Contoh 13

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R5 = { (x,y)  x kelipatan y , x, y  B } = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R5 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2)  R5 tetapi (2,4)  R5.

Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)R dan (b,c)R berlaku (a,c)R.

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R6 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}

Relasi R6 tersebut bersifat transitif.

Contoh

Relasi R7 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2)  R7 dan (2,3)  R7, tetapi (1,3)  R7.

Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b)  R dan (b,a)  R berlaku a = b.

Contoh

Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R8 = { (x,y)  x kelipatan y , x,y  B }.

Dengan demikian R8 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R8 tersebut bersifat antisimetris.

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R9 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R9 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)R9 dan (2,1)  R9, tetapi 1  2.

RELASI EKIVALEN

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif.

Contoh 18

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R1 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen.

Contoh 19

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y)  x kelipatan y , x, y  B } maka R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.

Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

RELASI PENGURUTAN SEBAGIAN (PARTIAL ORDERING)

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.

Contoh 20

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R3 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R3 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian.

Contoh 21

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R4 = { (x,y)  x kelipatan y , x,y  B } maka R4 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.

Relasi R4 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.

Daftar Referensi

Suryadi, H.S. 1991. Aljabar, Logika dan Himpunan, seri diktat kuliah Gunadarma. Depok.

Pardede, C. 2003. Lecture Notes Logika Matematika. Universitas Gunadarma. Depok.

Angga Faizul (2012) Relasi http://studio-ilmu.blogspot.com/2012/09, diakses Jumat 9 Mei 2014 pukul 17.00

Aenifarida (2013) Cara menyatakan relasi dalam matematika http://aenifarida.wordpress.com diakses Jumat 9 Mei 2014 pukul 17.00.

HAYAO MIYAZAKI

Sutradara Animasi Fenomena

Hayao Miyazaki dan Studio Gibli membawa sudut pandang yang berbeda dan fenomenal dalam dunia animasi.

Hayao Miyazaki, sutradara animasi yang berasal dari Jepang membuat saya semakin mencintai film-film animasi. Karya-karya beliau yang disuguhkan dengan goresan tinta yang apik, alur cerita yang mengalir dengan runut dan mudah dimengerti serta tak lupa iringan musik yang indah membuat orang yang pertama kali menonton karyanya akan langsung jatuh cinta. Salah satu karyanya "My Neighbor Totoro" adalah awal mula saya mengagumi film-film animasi karya Hayao Miyazaki.

Hayao Miyazaki berhasil menerjemahkan dunia nyata dalam pandangan anak-anak yang murni. Pelajaran-pelajaran hidup banyak ditemui disana terutama tentang arti berjuang dan tidak pantang menyerah, bisa jadi karena beliau dilahirkan pada saat-saat yang sulit sekitar tahun 1941 dimana saat itu dunia berada pada masa perang.

Film Grave of Fireflies (1988) yang menceritakan perjuangan dua anak kakak -beradik yang bertahan hidup di masa perang berhasil menyuguhkan dampak perang yang mengerikan bagi kehidupan anak-anak lewat animasi yang indah. Pesan untuk selalu menjaga kedamaian dunia dan anti perang dapat disampaikan dengan baik dan efektif tanpa kesan menggurui...Penonton digiring untuk melihat dampak perang dari kacamata anak-anak yang masih polos dan murni.

Yang menjadi ciri khas di setiap film animasi karya Hayao Miyazaki adalah peran utama protagonis yang selalu dimainkan oleh seorang anak perempuan. Hampir seluruh tokohnya mempunyai sifat yang pantang menyerah, ceria, ingin mengenal dunia dengan cara yang berbeda hingga tidak takut dengan perubahan dan berusaha untuk beradaptasi dengan lingkungan barunya.

Perubahan tempat tinggal, teman, dan lingkungan bukan hal yang mudah untuk dihadapi oleh anak-anak...perubahan selalu membawa dampak yang mungkin tidak disadari oleh orang tua..lewat film " My Neighbor Totoro" kita merasakan bagaimana perjuangan Mei dan Satsuki yang harus pindah dari kota yang hiruk pikuk ke sebuah desa kecil yang alamnya masih asli. Bagaimana mereka menghadapi semuanya tanpa kehadiran ibunya yang saat itu lagi dirawat di rumah sakit dengan tetap ceria, menerima perubahan dengan tawa dan menghormati alam sekitarnya, meski dalam hati kecilnya mereka sangat merindukan sosok ibu yang tidak dapat tergantikan oleh siapapun.

Bagaimana mereka bisa menikmati pertemanan yang terjalin indah dengan Totoro, saling menjaga dan bergantung satu sama lain, meski kadang pertengkaran terjadi, tapi disana kita diajarkan untuk mencintai keluarga dan saling menyayangi. Satsuki yang berusia 10 tahun sebagai seorang kakak dituntut untuk menjaga dan melindungi adiknya Mei yang berusia 4 tahun, yang masih polos dan kadang keras kepala...Pesan yang disampaikan untuk mencintai keluarga, alam dan persahabatan dapat disampaikan dengan cara yang sederhana tanpa menghilangkan keindahan disuguhkan dengan animasi indah yang membawa impian kita pada daya khayal masa kecil yang dimiliki oleh setiap anak..

Hayao Miyazaki kadang menyisipkan makhluk - makhluk aneh yang menjalin persahabatan ataupun mereka berperan sebagai tokoh antagonis pada karyanya dengan cara yang mencengangkan dan jauh dari kesan dipaksakan, mereka hadir dengan natural seakan bagian dari kehidupan sehari-hari dan memenuhi khayalan kita sewaktu kecil tentang kehadiran teman khayalan yang bisa menjadi shelter dan teman berbincang.

Film " Something borrow" atau " Arriety" mengajarkan kita arti persahabatan yang sesungguhnya, dengan tidak berusaha mencampuri urusan teman tetapi siap ketika diperlukan. Niat baik tidak selamanya menghasilkan keputusan yang tepat.

Arriety, peri muda umur 12 atau 13 tahun menjalin persahabatan dengan anak laki-laki yang sedang sakit. Kehadiran Arriety membawa kesan yang sangat meyenangkan bagi seorang anak kecil yang terpaksa harus berpisah dengan dunia hiruk pikuknya dan tinggal bersama sang nenek yang usia dan lingkungannya berbeda dengan lingkungan tempat dia berasal. Persahabatan yang kadang membuat penonton berkhayal, terjalin natural tanpa banyak dialog, bahasa non verbal cenderung lebih dominan, dan kerapkali kita mengganggap hubungan yang terjalin adalah hubungan romantisme, Hayao Miyazaki berhasil menggiring romantisme ke sisi manusia sebagai makhluk sosial yang memerlukan orang lain dan pengakuan. Perpisahan yang terjadi dikemas denngan adegan yang sangat mengharukan diiringi alunan musik yang indah. Perpisahan yang terjadi menguatkan hati mereka untuk lebih menghargai keluarga dan apa yang dan telah dianugerahkan sama sang penguasa langit dan bumi..

Goresan tangan Hayao Miyazaki tak pernah luput menghadirkan kekuatan detil background. Pengaturan komposisi warna, menggambarkan dunia anak yang penuh warna, penggambaran raut muka setiap tokohnya berhasil menangkap berbagai ekspresi anak yang tidak kaku ketika diterjemahkan pada dunia animasi.

Hayao Miyazaki sang maestro animasi mampu membuat pencinta film animasi mempunyai sudut pandang yang berbeda.Ditengah kemajuan teknologi yang menghadirkan film animasi ke layar dengan komputer, beliau masih setia dengan penggambaran film animasi leawat goresan pensil.

Disaat pencapaian tertinggi...Hayao Miyazaki pada bulan September tahun 2013 mengumumkan mengundurkan diri dari dunia animasi layar lebar, tentu hal ini sangat mengejutkan bagi penggemar film2 dari studio Gibli. walau bagaimanapun karya-karya Hayao Miyazaki membawa pencinta dunia animasi ke ruang rasa yang sulit digambarkan yaitu...semakin jatuh cinta.

Sabtu, 03 Mei 2014

TUGAS IX A BILANGAN

BILANGAN

Pengertian bilangan

Bilangan adala suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.

Simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.

Dalam matematika konsep bilangan meliputi:

Bilangan Nol
Bilangan Asli
Bilangan Bulat
Bilangan Positif
Bilangan Kompleks
Bilangan Negatif
Bilangan Rasional
Bilangan Irrasional

Bilangan Nol

Bilangan nol atau kosong adalah suatu angka dan digit angka yang digunakan untuk mewakili angka dalam angka. Angka nol memainkan peranan penting dalam matematika sebagai identitas bagi bilangan bualt, bilangan real dan struktur aljabar lainnya. Sebagai angka, nol digunakan sebagai tempat dalam sistem dan nilai tempat.

Bilangan Asli

Bilangan Asli merupakan bilangan yang dimulai dari angka satu (1) dan bertanbah satu. Pada garis deret ukur bilangan matematika yang di mulai dari angka satu bertambah satu ke arah kanan (1,2,3,4,5,...).

Bilangan Bulat

Bilangan bulat yaitu terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya

(-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat bisa dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan Positif

Bilangan Positif adalah bilangan yang berada pada deret ukur garis bilangan yang dimulai dari Nol ke arah kanan tanpa batas {0,1,2,3,...} juga meliputi angka dibelakang koma {(0,1), (0,2), (0,3), ...} dan seterusnya.

Bilangan Negatif

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil atau kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, …}

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).

Bilangan Irrasional

Bilangan merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan dengan a/b

π = 3,141592653358……..

√2 = 1,4142135623……..

Sumber:

Anonim, Januari 2011 Jenis-jenis bilangan, http://www.ilmushare.com, diakses 4 April 2014 jam 14.00

Anonim, 16 Maret 2013, Macam-macam bilangan dalam matematika, http://articlesgenius.wordpress.com diakses 4 April 2014 jam 14.10

Bilangan , terakhir diubah http://id.wikipedia.org diakses 4 April 2014 jam 14.15

Angka _O terakhir diubah 24 Maret 2014 http://id.wikipedia.org, diakses 4 April

TUGAS IX HIMPUNAN

Himpunan Dan Bilangan

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpul an kumpulan banda dan objek yang dapat didefinisikan dengan jelas

Himpunan dapat dinyatakan dengan:

a. Suatu kalimat

b. Notasi pembentukan kalimat

C. Mendapatkan anggota-anggotanya

Setiap benda atau objek yang termasuk kedalam suatu himpunan disebut anggota atau unsure atuau elemen dari himpunan tersebut.

Himpunan dinyatakan dengan hueruf capital, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil a,b,c,d

Himpunan dapat dinyatakan dengan 4 cara yaitu:

Enumerasi, mendaftarkan semua anggotanya yang diletakkan sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh : B = {a, i, b, c, d}

Simbol baku

Yaitu dengan menggunakan symbol tertentu yang telah disepakati.

Contoh :

P adalah himpunan bilangan bulat positif

R adalah himpunan bilangan Riil.

Notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menuliskan cirri-ciri umum atau sifat-aifat umum dari Anggota.

Contoh:

A= {xIx adalah himpunan bilangan bulat positif }

Diagram Venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang di gambarkan dengan segi empat.