Ilmu Alamiah Dasar dan Matematika: Juni 2014

Sabtu, 28 Juni 2014

TUGAS XIII- LOGIKA

LOGIKA

Logika Matematika merupakan materi yang sangat penting dalam memahami teori matematika serta dalam menarik suatu kesimpulan dari premis-premis yang ada.

Operasi Logika Matematika

Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak sekaligus keduanya.

Contoh: Jakarta adalah ibukota Indonesia. (benar).

Kota Jakarta terletak di Pulau Kalimantan . (salah)

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan kebenarannya.

Contoh: $x^2 - 4x + 5 = 0$ merupakan kalimat terbuka karena mengandung variabel $x$

Ingkaran atau negasi merupakan kebalikan/lawan dari suatu pernyataan. Jika diketahui pernyataan P, maka negasinya adalah $\sim P$

Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Konjungsi merupakan operasi logika matematika dengan tanda hubung “dan”. Simbolnya adalah $\wedge$ .
Jika ada dua pernyataan P dan Q, maka pada tabel kebenaran, hasilnya akan benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Sisanya salah.

Disjungsi merupakan logika matematika dengan tanda hubung “atau”, simbolnya $\vee$ .
Pada tabel kebenaran, hasilnya hanya salah jika kedua pernyataannya salah.

Implikasi disebut juga dengan “pernyataan bersyarat“, simbolnya adalah $\rightarrow$ atau $\Rightarrow$ , yang dibaca dengan “jika”. Misal $P \rightarrow Q$ maka dibaca “jika P maka Q. Pada tabel kebenaran, hasilnya benar jika kedua pernyataannya benar atau kedua pernyataannya salah.

Biimplikasi merupakan implikasi dua arah, dengan simbol $\leftrightarrow$ atau $\Leftrightarrow$ . Misal $P \Leftrightarrow Q$ , maka dibaca “P jika dan hanya jika Q”.

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal. Jadi, pernyataan ini terdiri dari beberapa operasi logika matematika.

Contoh: $(P \vee Q) \Leftrightarrow R$

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui operasi logika matematika $P \rightarrow Q$ , maka berlaku:

Konvers: $Q \leftarrow P$

Invers: $\sim P \rightarrow \sim Q$

Kontraposisi: $\sim Q \rightarrow \sim P$

Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal atau kuantor umum, menggunakan kata: semua, seluruhnya, atau setiap. Contoh: Semua manusia akan mati. Simbolnya adalah $\forall$

Kuantor Eksistensial atau kuantor khusus, menggunakan kata: ada, beberapa, sebagian, terdapat. Contoh: Ada burung yang tidak bisa terbang. Simbolnya adalah $\exists$ .

Penarikan Kesimpulan

Dari beberapa pernyataan yang benar (premis) dan saling berhubungan, dapat ditarik suatu kesimpulan dari premis-premis tersebut.

Ada 3 pola utama dalam menarik suatu kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

Perhatikan pola berikut.

CONTOH SOAL

Contoh soal 1

Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):

a) p : Ibu memasak ayam goreng q : Ibu membeli soto babat di pasar
b) p : Pak Bambang mengajar matematika q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

Pembahasana) p : Ibu memasak ayam goreng   q : Ibu membeli soto babat di pasar
   p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.
b) p : Pak Bambang mengajar matematika   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
   p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris

Contoh soal no 2

A. Matematika mengasyikkan atau membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)

Pembahasan
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

p : Matematika tidak mengasyikkan

Pembahasan

Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
p : Matematika tidak mengasyikkan
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

Contoh Soal no 3

Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p → q
b) ~p → ~q
c) p → ~q

Pembahasan

Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:

a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkatb) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.c) p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...

q : Matematika membosankan

Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:

Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi

Sumber :

Anonim. Logika Matematika. http://www.sekolahmatematika.com. Diakses tanggal 28 Juni 2014 jam 19.45 WIB

Anonim. Soal pembahasan logika matematika kelas 10 SMA http://matematikastudycenter.com. Diakses tanggal 28 Juni 2014 jam 20.00

TUGAS XII - PROPOSISI

PROPOSISI

Sumber :

1. Indarti Dina . Proposisi www. dina_indarti.staff.gunadarma.ac.id.

Diakses tanggal 19 Juni 2014 jam 20.36 WIB

2. D. Suryadi H.S., Aljabar Logika dan Himpunan, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1995

Jumat, 13 Juni 2014

TUGAS XI - FUNGSI

FUNGSI

TUGAS XI FUNGSI

Fungsi atau Pemetaan

Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan?

Fungsi adalah suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis

f : A → B

A disebut dengan daerah asal [domain]
B disebut dengan daerah kawan [codomain]

Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari x dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).

Contoh

Diagram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan
daerah asal A = {a,b,c,d,e}
daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6}
f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3; f(d) = 4; f(e) = 5, sehingga didapat range(daerah hasil) H = {1,2,3,4,5}

fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.

Contoh
Misal f: R → R dengan f(x+2) = x²-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1)
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2
f(y) = (y-2)² – (y-2) = y² – 4y + 4 – y +2 = y² -5y + 6
sehingga bisa didapat f(x) = x² -5x + 6
f(1) = 1² -5(1) + 6 = 2

Komposisi Fungsi

Jika menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Apa yang sobat lakukan tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan hasilnya disebutkomposisi fungsi. Coba sobat hitung simak ilustrasi berikut

Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci

g(y) = g(f(x))
h(x) = g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))

Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut

Jika f(x) = 2x² + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)

Jawab:
mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, hanya perlu mentaati asas ketika memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x²+1) = 2x²+1 + 2 = 2x²+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)² + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)² +1 = 2 (x²+4x+4) +1 = 2x² + 8x +8 + 1 = 2x² + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)² + 8(3) + 9 = 51

Invers Fungsi

Apa itu invers fungsi? fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f dinyatakan dengan f-1: B → A

jika y = f(x) maka x = f^-1(y).
Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satu-satu. Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.

Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?

Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya denga y
Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y
Mengganti y dalam fungsi menjadi x

Contoh
Tentukan ivers dari fungsi f(x) = 2x + 6
Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
dengan demikian f^-1(y) = ½ y – 3 atau f^-1(x) = ½ x – 3

Contoh 2
Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3/ 4x + 5
jawab :
y = 2x + 3/ 4x + 5
y (4x + 5) = 2x + 3
4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y
x (4y-2) = 3 – 5y
x = 3 – 5y / 4y-2
atau
x = -5y +3 / 4y – 2
jadi dengan dimikian f^-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau f^-1(x) = -5x +3 / 4x – 2

Sumber:

Anonim, 2 November 2013 Fungsi komposisi fungdi dan invers fungsi matematika http://rumushitung.com

diakses pada Kamis 12 Juni 2014 21.00 wib.