TUGAS XIII- LOGIKA

LOGIKA

Logika Matematika  merupakan materi yang sangat penting dalam memahami teori matematika serta dalam menarik suatu kesimpulan dari premis-premis yang ada.

Operasi Logika Matematika

Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak sekaligus keduanya.

 Contoh: Jakarta adalah ibukota Indonesia. (benar). 

             Kota Jakarta terletak di Pulau Kalimantan . (salah)

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan kebenarannya.

Contoh:  merupakan kalimat terbuka karena mengandung variabel 

Ingkaran atau negasi merupakan kebalikan/lawan dari suatu pernyataan. Jika diketahui pernyataan P, maka negasinya adalah 

Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Konjungsi merupakan operasi logika matematika dengan tanda hubung “dan”. Simbolnya adalah .
Jika ada dua pernyataan P dan Q, maka pada tabel kebenaran, hasilnya akan benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Sisanya salah.

Disjungsi merupakan logika matematika dengan tanda hubung “atau”, simbolnya .
Pada tabel kebenaran, hasilnya hanya salah jika kedua pernyataannya salah.

Implikasi disebut juga dengan “pernyataan bersyarat“, simbolnya adalah  atau , yang dibaca dengan “jika”. Misal  maka dibaca “jika P maka Q. Pada tabel kebenaran, hasilnya benar jika kedua pernyataannya benar atau kedua pernyataannya salah.

Biimplikasi merupakan implikasi dua arah, dengan simbol  atau . Misal , maka dibaca “P jika dan hanya jika Q”.

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal. Jadi, pernyataan ini terdiri dari beberapa operasi logika matematika.

Contoh: 

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui operasi logika matematika , maka berlaku:

Konvers: 

Invers:  

Kontraposisi: 

Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal atau kuantor umum, menggunakan kata: semua, seluruhnya, atau setiap. Contoh: Semua manusia akan mati. Simbolnya adalah 

Kuantor Eksistensial atau kuantor khusus, menggunakan kata: ada, beberapa, sebagian, terdapat. Contoh: Ada burung yang tidak bisa terbang. Simbolnya adalah .

Penarikan Kesimpulan

Dari beberapa pernyataan yang benar (premis) dan saling berhubungan, dapat ditarik suatu kesimpulan dari premis-premis tersebut.

Ada 3 pola utama dalam menarik suatu kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

Perhatikan pola berikut.

CONTOH SOAL

Contoh soal 1

Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):

a) p : Ibu memasak ayam goreng   q : Ibu membeli soto babat di pasar
b) p : Pak Bambang mengajar matematika   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

Pembahasana) p : Ibu memasak ayam goreng   q : Ibu membeli soto babat di pasar
   p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.
b) p : Pak Bambang mengajar matematika   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
   p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris

Contoh soal no 2

A. Matematika mengasyikkan atau membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)


Pembahasan
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

p : Matematika tidak mengasyikkan

Pembahasan

Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
p : Matematika tidak mengasyikkan
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q 

sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q 
sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan



Contoh Soal no 3

Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p → q
b) ~p → ~q
c) p → ~q


Pembahasan

Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:

a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkatb) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.c) p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...

q : Matematika  membosankan

Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:

Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi 

Sumber :

•  Anonim. Logika Matematika.  http://www.sekolahmatematika.com. Diakses tanggal 28 Juni 2014 jam 19.45 WIB

• Anonim. Soal pembahasan logika matematika kelas 10 SMA http://matematikastudycenter.com.  Diakses tanggal 28 Juni 2014 jam  20.00